Enunciado

Encontre a série de Maclaurin para f ( x ) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = x cos ⁡ x

A série de Maclaurin será dada por:

x cos ⁡ x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f 4 0 4 ! x 4 + …

= 0 + 1 x + 0 - 3 3 ! x 3 + 0 + 5 5 ! x 5 + 0 - 7 7 ! x 7 + …

= x - 1 2 ! x 3 + 1 4 ! x 5 - 1 6 ! x 7 + …

Passo 2

Temos, que essa sequência pode ser representada por:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 2 n ! x 2 n + 1

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 n + 3 2 n + 2 ! . 2 n ! - 1 n x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ x 2 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) = 0

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

0 < 1

E, consequentemente, como a condição é válida para todos os valores de x , logo:

R = ∞

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 2 n ! x 2 n + 1

R = ∞

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