Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) sen ((1)/(n))

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = sen ((1)/(n))

Para comparar vamos usar a série com o termo

b_n = (1)/(n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) (sen ((1)/(n)))/((1)/(n))

Pela propriedade do limite que diz que

underset(x -> a)(lim) (sen b)/(b) = 1

Quando

underset(x -> a)(lim) b = 0

Então

underset(n -> oo)(lim) (sen ((1)/(n)))/((1)/(n)) = 1

Como 1 > 0 e a série harmônica diverge

sum_(n = 1)^(oo) sen ((1)/(n))

Também diverge.

Resposta

Diverge.

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