Enunciado

Encontre a série de Maclaurin para f ( x ) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = 2 x

A série de Maclaurin será dada por:

2 x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Passo 2

Temos, que essa sequência pode ser representada por:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 2 n n ! x n

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n + 1 x n + 1 n + 1 ! . n ! ln ⁡ 2 n x n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x n + 1 = 0

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

0 < 1

E, consequentemente, isso é válido para todos os valores de x , dessa forma:

R = ∞

Resposta

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 2 n n ! x n

R = ∞

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