Mostre que a série de Taylor para f(x) = t \* g^(-1) x diverge para |x| > 1 .

Passo 1

E aí, pessoal! Ficaram em dúvida nesta questão? Então, me acompanhe aí na resolução!

Para resolver essa questão, precisamos voltar num conceito importante da seção 10.5: o teste da razão. Esse teste diz que se

l i m n   →   ∞ a n + 1 a n < 1 ,

então a série converge. Ou seja, para provar que a série diverge, temos que mostrar que

l i m n   →   ∞ a n + 1 a n > 1

Passo 2

A série de t g - 1   x é dada por

  t g - 1   x = x - x 3 3 + x 5 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

⇒ t g - 1   x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1  

Com isso, podemos obter os termos

a n   =   ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1

e

a n + 1   =   ( - 1 ) n + 1 x 2 n + 3 2 n   +   3

Passo 3

Agora vamos tomar a razão entre esses dois termos

a n + 1 a n = ( - 1 ) n + 1 x 2 n + 3 2 n   +   3   ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1   =   -   x 2 n + 3 2 n   +   3 2 n + 1 x 2 n + 1

a n + 1 a n =   -   2 n + 1 2 n + 3 x 2 = -   2 + 1 / n 2 + 3 / n x 2

Tomando o limite, ficamos com

l i m n   →   ∞ a n + 1 a n = | x 2 | l i m n   →   ∞ 2 + 1 / n 2 + 3 / n   =   | x 2 | 2 2   =   | x 2 |

Então, se | x | > 1 , temos

l i m n   →   ∞ a n + 1 a n > 1

o que significa que a série diverge. Gostou? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

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