Enunciado

Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = a x 2 + a 2 ,   a > 0

Podemos reescrever a função como:

f x = a a 2 1 1 - - x 2 a 2 = 1 a ∑ n = 0 ∞ - x 2 a 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n a 2 n + 1

Passo 2

Sendo assim, a série converge quando:

- x 2 a 2 < 1 → x < a

Dessa forma, temos:

- a < x < a

E o raio de convergência é:

R = a - - a 2 = a

Passo 3

E, dessa forma, o intervalo de convergência é dado por:

I = - a , a

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n a 2 n + 1

I = - a , a

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