Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 6
Encontre a série de Maclaurin usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
A série de Maclaurin é da forma
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Podemos perceber o padrão, de forma geral temos , isso vale para , para . Portanto, vamos começar a nossa série de .
Passo 2
Então a série para a função é
Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão
Então temos que para convergir , então o raio da série é .
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.35. l i m x→∞ x 2 ( e - 1 / x 2-1 )
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.50. x 2 - 2 x 3 + 2 2 x 4 2 !- 2 3 x 5 3 ! + 2 4 x 6 4 !-⋅ ⋅ ⋅
Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.36. l i m x→∞ ( x + 1 )s e n 1 x+1
Estimando π O matemático inglês Wallis descobriu a fórmula π 4 = 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ . . . 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ . . . Encontre o valor de π com duas casas decimais a partir dessa fórmula.
Série para t g - 1 x para | x |1 Deduza as séries t g - 1 x= π 2 - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 +⋅ ⋅ ⋅ ,x1 t g - 1 x= - π 2 - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 +⋅ ⋅ ⋅ ,x - 1 integrando a série 1 1 + t 2 =1 t 2 ⋅ 1 1