Enunciado

Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = ln ⁡ ( 1 + x )

Passo 1

A série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0

f x = ln ⁡ ( 1 + x ) ⇒ f 0 = 0

f ' x = 1 1 + x ⇒ f ' 0 = 1

f ' ' x = - 1 1 + x - 2 = - 1 1 + x 2 ⇒ f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = ( - 2 ) - 1 1 + x - 3 = 2 1 + x 3 ⇒ f ' ' ' 0 = 2 = 2 !

f ' ' ' ' x = - 3 2 1 + x - 4 = - 3 ⋅ 2 1 + x 4 ⇒ f ' ' ' ' 0 = - 3 ⋅ 2 = - 3 !

Podemos perceber o padrão, de forma geral temos f n 0 = - 1 n + 1 ( n - 1 ) ! , isso vale para n ≥ 1 , para n = 0 f 0 = 0 . Portanto, vamos começar a nossa série de n = 1 .

Passo 2

Então a série para a função é

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ( n - 1 ) ! n ! x n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x n n

Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ⋅ n x n = lim n → ∞ ⁡ n x n + 1

= x lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = x

Então temos que para convergir x < 1 , então o raio da série é 1 .

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n n

R = 1

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