Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^1 x y . sqrt(x^2 + y^2) d y d x

Passo 1

Galera, quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, beleza?

Desse jeito aqui:

int_0^1 int_0^1 x y . sqrt(x^2 + y^2 ) d y d x = int_0^1 (int_0^1 x y . sqrt(x^2 + y^2 ) d y) d x

Lembre-se de que, quando estamos integrando em relação a y , podemos tratar x como uma constante, ok?

Passo 2

Vamos começar olhando só para integral de dentro, para não confundir nossa cabeça:

int_0^1 x y . sqrt(x^2 + y^2) d y

Se podemos tratar x como constante, então podemos tirar esse x que tá multiplicando pra fora da integral:

x . int_0^1 y . sqrt(x^2 + y^2) d y

Agora para resolver essa integral a gente vai usar a nossa antiga amiga, a substituição simples… Lembra dela? Vamos fazer assim olha:

u = x^2 + y^2 d u = 2 y d y

E agora é substituir isso na nossa integral, vamos ficar com:

x . int_()^() sqrt(u) . (d u)/(2)

(x)/(2) . int_()^() sqrt(u) . d u

(x)/(2) . int_()^() u^(1 // 2) . d u

(x)/(2) . (2)/(3) . u^((3)/(2))

(x)/(3) . u^((3)/(2))

Agora, vamos voltar ao x y , ok? Como u = x^2 + y^2 , vamos substituir e teremos:

[(x)/(3) . (x^2 + y^2)^((3)/(2))]_(y = 0)^(y = 1)

[(x)/(3) . (x^2 + 1^2)^((3)/(2))] - [(x)/(3) . (x^2 + 0^2)^((3)/(2))]

[(x)/(3) . (x^2 + 1)^((3)/(2))] - [(x)/(3) . (x^2)^((3)/(2))]

[(x)/(3) . (x^2 + 1)^((3)/(2))] - [(x)/(3) . x^3]

[(x . (x^2 + 1)^((3)/(2)))/(3)] - [(x^4)/(3)]

(x . (x^2 + 1)^((3)/(2)) - x^4)/(3)

Passo 3

Agora, vamos pegar esse resultado e aplicar na integral de fora (em relação a x agora):

int_0^1 (x . (x^2 + 1)^((3)/(2)) - x^4)/(3) d x

Vamos separar em 2 integrais, beleza?

int_0^1 (x (x^2 + 1)^((3)/(2)))/(3) d x - int_0^1 (x^4)/(3) d x

A primeira vamos fazer uma substituição simples (de novo rs)

u = x^2 + 1 d u = 2 x d x

Nossa integral vai ficar:

int_0^1 ((u)^((3)/(2)))/(3) . (d u)/(2)

int_0^1 ((u)^((3)/(2)) . d u)/(6)

(1)/(6) . int_0^1 (u)^((3)/(2)) . d u

(1)/(6) . (2)/(5) . u^((5)/(2))

(1)/(3) . (1)/(5) . u^((5)/(2))

Agora voltando ao x y , vamos ter:

((x^2 + 1)^((5)/(2)))/(15)

Ainda não vamos substituir os limites de integração, vamos primeiro fazer a outra integral que tem que resolver, ok?

int_0^1 (x^4)/(3) d x

(x^5)/(3 . 5)

(x^5)/(15)

Agora sim! Vamos fazer a subtração e substituir os limites de integração, temos que:

[((x^2 + 1)^((5)/(2)))/(15) - (x^5)/(15)]_0^1

(1)/(15) . {[(1^2 + 1)^((5)/(2)) - 1^5] - [(0^2 + 1)^((5)/(2)) - 0^5]}

(1)/(15) . {[2^((5)/(2)) - 1] - [1^((5)/(2))]}

(1)/(15) . [2^((5)/(2)) - 1 - 1]

(1)/(15) . [2^((5)/(2)) - 2]

(1)/(15) . [sqrt(2^5) - 2]

(1)/(15) . [sqrt(2^2 . 2^2 . 2) - 2]

(1)/(15) . [4 sqrt(2) - 2]

Ainda podemos colocar o 2 em evidência e ficaremos com:

(2)/(15) (2 sqrt(2) - 1)

Prontinho! Conseguimos!!

Resposta

int_0^1 int_0^1 x y . sqrt(x^2 + y^2) d y d x = (2)/(15) (2 sqrt(2) - 1)

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