Enunciado

Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .]

f x = x - 2 ,                     a = 1

Passo 1

A série de Taylor é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = a , neste caso a = 1

f x = x - 2 = 1 x 2 = x - 1 / 2 ⇒ f 1 = 1

f ' x = - 2 x - 3 = - 2 x 3 ⇒ f ' 1 = - 2

f ' ' x = - 3 - 2 x - 4 = 3 ! x 4 ⇒ f ' ' 1 = 3 !

f ' ' ' x = - 4 ⋅ 3 ! x - 5 = - 4 ! x 5 ⇒ f ' ' ' 1 = - 4 !

Podemos achar o padrão, de forma geral

f n 1 = - 1 n n + 1 !

Passo 2

Então temos que a série de Taylor para f ( x ) é

∑ n = 0 ∞ f n 1 n ! x - 1 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 ! n ! x - 1 n

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) x - 1 n

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) x - 1 n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.48. 1 - 3 2 x 2 2 ! + 3 4 x 4 4 ! - 3 6 x 6 6 ! +⋅ ⋅ ⋅
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.47. x 3 + x 4 + x 5 + x 6 +⋅ ⋅ ⋅
Utilize as etapas a seguir para provar a Equação 1.a. Derive a série f ( x ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! x k para mostrar que f ' ( x ) = m f ( x ) 1 + x ,- 1x1 b. Defina g ( x ) = ( 1 + x ) -
Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.31.l i m t → 0 1-c o st-( t 2 / 2 ) t 4
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.43. 1 - 3 2 4 2 ⋅2 ! + 3 4 4 4 ⋅4 ! - 3 6 4 6 ⋅6 ! +⋅ ⋅ ⋅