Enunciado

Expresse o número como uma razão de inteiros.

6 , 2 overset(-)(54) = 6,2545454 ...

Passo 1

Para transformar isso numa razão de inteiros, ou uma fração, vamos pegar a parte fixa e somar em uma série que vai representar a parte que se repete. Essa série é uma série geométrica, que nós sabemos como encontrar o valor pela fórmula

sum_(n = 0)^(oo) a r^n = (a)/(1 - r)

Passo 2

Para esse numero, a parte fixa é o 6,2 e o 54 se repete infinitamente, assim

6,2545454 ... = 6,2 + (54)/(10 * 100) + (54)/(10 * 100^2) + ...

Que é a mesma coisa que

6,2545454 ... = 6,2 + sum_(n = 1)^(oo) (54)/(10) ((1)/(100))^n

Ela inicia em 1 porque não temos um termo 5,4 , então a série não tá no formato de geométrica. Para resolver isso, vamos somar 5,4 dos dois lados e depois subtraímos

6,2545454 ... + (54)/(10) = 6,2 + (54)/(10) + sum_(n = 1)^(oo) (54)/(10) ((1)/(100))^n

6,2545454 ... + (54)/(10) = 6,2 + sum_(n = 0)^(oo) (54)/(10) ((1)/(100))^n

Passo 3

Aplicando a fórmula

sum_(n = 0)^(oo) (54)/(10) ((1)/(100))^n = (54 // 10)/(1 - (1)/(100)) = (54 // 10)/(99 // 100) = (540)/(99)

Então

6,2545454 ... + (54)/(10) = 6,2 + (540)/(99)

Subtraindo 54 // 10 e colocando 6,2 em forma fracionária

6,2545454 ... = (62)/(10) + (540)/(99) - (54)/(10) = (540)/(99) + (8)/(10)

= (540)/(99) + (4)/(5)

Fazendo o MMC

= (2700 + 396)/(495) = (3096)/(495)

Resposta

6,2545454 ... = (3096)/(495)

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