Enunciado

Utilize as etapas a seguir para provar a Equação 1.

a. Derive a série

f ( x ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! x k

para mostrar que

f ' ( x ) = m f ( x ) 1 + x ,       - 1 < x < 1

b. Defina g ( x ) = ( 1 + x ) - m f ( x ) e mostre que g ' ( x ) = 0 .

c. A partir do item (b), mostre que

f ( x ) = ( 1 + x ) m

Passo 1

Fala, galera! Mais uma questão para a gente detonar. Então, vamos nessa!

a. O enunciado pede para a gente usar o seguinte resultado

f ( x ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! x k

e derivar para encontrar

f ' ( x ) = m f ( x ) 1 + x

Então, vamos derivar com relação a x em ambos os lados

f ' ( x ) = ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! d d x ( x k ) = ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! k x k - 1

f ' ( x ) = ∑ k = 1 ∞ m ! ( k - 1 ) ! ( m - k ) ! x k - 1

Passo 2

O somatório ∑ k = 1 ∞ m ! ( k - 1 ) ! ( m - k ) ! x k - 1 parece muito com o que temos para f ( x ) . Para ficar mais parecido ainda, vamos fazer k ' = k - 1 . Então, k = k ' + 1 e, k ' = 0 quando k = 1 e k ' → ∞ quando k → ∞ . Assim, o somatório fica

f ' ( x ) = ∑ k ' = 0 ∞ m ! ( k ' ) ! ( m - k ' - 1 ) !   x k ' = ∑ k ' = 0 ∞ m ! ( k ' ) ! ( m - k ' - 1 ) !   x k '

Também temos que notar que o primeiro termo do somatório é igual m . Agora, podemos trocar o índice k ' por k no somatório, sem nenhum problema

f ' ( x ) = m + ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k - 1 ) !   x k

Passo 3

Agora, como o termo no somatório parece bastante com o que a gente tem em f ( x ) , vamos fazer m f - f ' e ver se conseguimos simplificar alguma coisa:

m f ( x ) - f ' ( x ) = m + m ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! x k - m + ∑ k = 1 ∞ m ! ( k ' ) ! ( m - k - 1 ) !   x k

m f ( x ) - f ' ( x ) = m ∑ k = 1 ∞ m ! k ! ( m - k ) ! x k - m ∑ k = 1 ∞ ( m - 1 ) ! k ! ( m - k - 1 ) !   x k

m f ( x ) - f ' ( x ) = m ∑ k = 1 ∞ 1 k ! x k m ! ( m - k ) ( m - k - 1 ) ! - ( m - 1 ) ! ( m - k - 1 ) !

m f ( x ) - f ' ( x ) = ∑ k = 1 ∞ m k ! x k m ( m - 1 ) ! - ( m - k ) ( m - 1 ) ! ( m - k ) ( m - k - 1 ) !

m f ( x ) - f ' ( x ) = ∑ k = 1 ∞ m k ! x k m ( m - 1 ) ! - m ( m - 1 ) ! + k ( m - 1 ) ! ( m - k ) ( m - k - 1 ) !

m f ( x ) - f ' ( x ) = ∑ k = 1 ∞ m k ! x k k ( m - 1 ) ! ( m - k ) ! = ∑ k = 1 ∞ m ! ( k - 1 ) ! ( m - k ) ! x k

O que temos do lado direito da equação é justamente x f ' ( x ) , se a gente usar a expressão obtida no final do Passo 1. Assim,

m f ( x ) - f ' ( x ) = x f ' ( x ) ⇒ m f ( x ) = ( 1 + x ) f ' ( x )

⇒ f ' ( x ) = m f ( x ) 1 + x

Passo 4

b.Tá, agora vamos definir g ( x ) = ( 1 + x ) - m f ( x ) e calcular a sua derivada:

g ' ( x ) = ( 1 + x ) - m f ' ( x ) + f ( x ) d d x [ ( 1 + x ) - m ]

g ' ( x ) = ( 1 + x ) - m f ' ( x ) + f ( x ) [ - m ( 1 + x ) - m - 1 ]

g ' ( x ) = f ' ( x ) ( 1 + x ) m - m f ( x ) ( 1 + x ) m + 1

Mas, pelo item (a), nós vimos que f ' ( x ) = m f ( x ) 1 + x . Então

g ' ( x ) = 1 ( 1 + x ) m m f ( x ) 1 + x - m f ( x ) ( 1 + x ) m + 1 = 0

Passo 5

c. Já que g ' ( x ) = 0 , então g ( x ) = C = c o n s t . Em particular, podemos escolher C = 1 . Ou seja,

g ( x ) = ( 1 + x ) - m f ( x ) = 1 ⇒ f ( x ) = ( 1 + x ) m

E, com isso, conseguimos mostrar a equação 1. Uhuu! Que orgulho!

Resposta

Veja a resolução acima.

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