Enunciado

Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = ln ⁡ x ,   a = 2

A série de Taylor será dada por:

f x = ln ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ f n 2 n ! x - 2 n  

= ln ⁡ 2 0 ! x - 2 0 + 1 1 ! 2 1 x - 2 1 + - 1 2 ! 2 2 x - 2 2 + 2 3 ! 2 3 x - 2 3 + - 6 4 ! 2 4 x - 2 4 + 24 5 ! 2 5 x - 2 5 + …

Passo 2

Temos, que essa sequência pode ser representada por:

ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 ! n ! 2 n x - 2 n

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 2 x - 2 n + 1 n + 1 2 n + 1 . n 2 n - 1 n + 1 x - 2 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 x - 2 n n + 1 2 = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 x - 2 2 = x - 2 2

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

x - 2 2 < 1 → x - 2 < 2

E, consequentemente:

R = 2

Resposta

ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 ! n ! 2 n x - 2 n

R = 2

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