Enunciado

Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = x 5 + 2 x 3 + x ,   a = 2

Nesse caso, temos que:

f n x = 0 ,   n ≥ 6

Sendo assim, f tem uma expansão finita para a = 2 . Dessa forma podemos escrever a série de Taylor como:

f x = x 5 + 2 x 3 + x = ∑ n = 0 5 f n 2 n ! x - 2 n

= 50 0 ! x - 2 0 + 105 1 ! x - 2 1 + 184 2 ! x - 2 2 + 252 3 ! x - 2 3 + 240 4 ! x - 2 4 + 120 5 ! x - 2 5

= 50 + 105 x - 2 + 92 x - 2 2 + 42 x - 2 3 + 10 x - 2 4 + x - 2 5

Passo 2

Sabemos que uma série finita converge para qualquer valor de x , sendo assim:

R = ∞

Resposta

∑ n = 0 5 f n 2 n ! x - 2 n

R = ∞

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