Enunciado

Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = x ,   a = 16

A série de Taylor será dada por:

f x = x = ∑ n = 0 ∞ f n 16 n ! x - 16 n  

= 4 0 ! x - 16 0 + 1 2 . 1 4 . 1 1 ! x - 16 1 - 1 4 . 1 4 3 . 1 2 ! x - 16 2 + 3 8 . 1 4 5 . 1 3 ! x - 16 3 - 15 16 . 1 4 7 . 1 4 ! x - 16 4 + …

Passo 2

Temos que essa sequência pode ser representada por:

4 + 1 8 x - 16 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 . 1.3 . 5 .   … . 2 n - 3 2 5 n - 2 n ! x - 16 n

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 1.3 . 5 .   … . 2 n - 1 x - 16 n + 1 2 5 n + 3 n + 1 ! . 2 5 n - 2 n ! - 1 n - 1 1.3 . 5 .   … . 2 n - 3 x - 16 n

= lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 x - 16 2 5 ( n + 1 ) = x - 16 32 lim n → ∞ ⁡ 2 - 1 / n 1 + 1 / n = x - 16 16

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

x - 16 16 < 1 → x - 16 < 16

E, consequentemente:

R = 16

Resposta

4 + 1 8 x - 16 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 . 1.3 . 5 .   … . 2 n - 3 2 5 n - 2 n ! x - 16 n

R = 16

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