Enunciado

Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = sen ⁡ x ,   a = π

A série de Taylor será dada por:

f x = sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ f n π n ! x - π n  

= - 1 1 ! x - π 1 + 1 3 ! x - π 3 + - 1 5 ! x - π 5 + 1 7 ! x - π 7 + …

Passo 2

Temos que essa sequência pode ser representada por:

∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 2 n + 1 ! x - π 2 n + 1

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 2 x - π 2 n + 3 2 n + 3 ! . 2 n + 1 ! - 1 n + 1 x - π 2 n + 1

= lim n → ∞ ⁡ x - π 2 2 n + 3 ( 2 n + 2 ) = 0

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

0 < 1

E, consequentemente, como essa condição é válida para qualquer valor de x :

R = ∞

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 2 n + 1 ! x - π 2 n + 1

R = ∞

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