Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ R a r c t g   y x   d A ,

onde R = x , y   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ x } .

Passo 1

Devemos primeiro passar a integral para coordenadas polares lembrando que d A = r   d r   d θ e que x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ .

Note que estamos restritos a 1 ≤ r ≤ 2 . Além disso, como 0 ≤ y ≤ x , o ângulo polar só pode variar de 0 até π / 4 . Note também que

a r c t g   y x = a r c t g   s e n   θ cos ⁡ θ = a r c t g   t g   θ = θ

Assim,

∬ R a r c t g   y x   d A = ∫ 1 2 ∫ 0 π 4 r   θ   d θ   d r

Passo 2

Portanto,

∬ R a r c t g   y x   d A = ∫ 1 2 r   d r ∫ 0 π 4 θ   d θ = r 2 2 1 2 θ 2 2 0 π 4

Assim,

∬ R a r c t g   y x   d A = 1 2 4 - 1 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 16 = 3 π 2 64

Resposta

3 π 2 64

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Calcular ∬ R ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R o anel delimitado por x 2 + y 2 = 16 e x 2 + y 2 = 25 .
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Calcular ∬ R ( 8 - x - y ) d x d y , sendo R delimitada por x 2 + y 2 = 1 .