Enunciado

Considere o problema de valor inicial

9 y ' ' + 12 y ' + 4 y = 0 ,     y 0 = a > 0 ,               y ' 0 = - 1 .

(a) Resolva o problema de valor inicial.

(c) Encontre o valor crítico de a que separa as soluções que se tornam negativas das que

Permanecem positivas.

Passo 1

Oi, como cê tá?

Vamos começar encontrando a solução homogênea, depois descobrimos as constantes, temos um brinde que ganhamos da questão que são as condições: y 0 = a > 0 , e y ' 0 = - 1 .

Passo 2

A gente usa aquele velho artifício para descobrir as raízes da equação... algum palpite? Se você respondeu Bháskara está corretíssimo. Então bora...

Vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' passa a ser x , e y é o termo independente.

9 x 2 + 12 x + 4 = 0

Sendo: a = 9 ,   b = 12 ,   c = 4 .

Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.

Lembrando que:

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 12 ± 12 2 - 4 . 9.4 2 . 9

x = - 12 ± 144 - 144 2.9

x = - 12 ± 0 18

x = - 12 ± 0 18

x ' = - 12 + 0 18 = - 2 3 ,     x ' ' = - 12 - 0 18 = - 2 3

Passo 3

Vamos descobrir o valor das constantes.

Fazemos a suposição que A seja uma função de x, então, A = A ( x ) .

y x = A x e -   2 3 t

Substituindo:

y x = a e - 2 3 t

E a segunda constante:

y ' x = A ' x . ( - 1 ) . - 2 3 e t - 2 3 t

- 2 3 a + c 2 = - 1

c 2 = - 1 + 2 3

y ' x = - 1 + 2 3 a t e - 2 3 t

y ( t ) = a e - 2 3 t . + 2 3 a - 1 t e - 2 3 t

Passo 4

E a letra (b) pede pra encontrar o valor crítico de a que separa as soluções que permanecem negativas das que acabam se tornando positivas.

Com o segundo termo sendo dominante a solução depende do sinal dele, então temos que ter que o cara entre parênteses no segundo termo seja maior ou igual a zero, então

2 3 a - 1 ≥ 0 → a ≥ 3 2

O valor crítico então será 3 / 2

Resposta

  1. y ( t ) = a e - 2 3 t . + 2 3 a - 1 t e - 2 3 t
  2. a = 3 2
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