Enunciado

Se y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial t 2 ⋅ y ' ' - 2 ⋅ y ' + ( 3 + t ) ⋅ y = 0 e se W y 1 ,   y 2 2 = 3 , encontre o valor de W y 1 ,   y 2 4 .

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar e rearranjar a equação, quando necessário, na forma

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

onde poderemos utilizar a forma do wronskiano em que aparece a integral, escrito da seguinte forma

W = C ⋅ e - ∫ p t d t

Após isso iremos aplicar no próprio wronskiano, os valores de t para encontrarmos a constante C e o valor para o t pedido.

Passo 2

Aplicando o método mostrado no passo 1, temos que não será necessário nem reorganizar nossa EDO, conseguimos identificar perfeitamente nosso P t = - 2 t 2 . Substituindo no wronskiano, temos então que:

W = C ⋅ e - ∫ - 2 t 2 d t = C ⋅ e - 2 t

Como temos o valor do wronskiano para t = 2 , podemos encontrar qual o valor da constante. Temos então que:

W 2 = 3 = C ⋅ e - 2 2

C = 3 ⋅ e 1 = 3 ⋅ e

Assim, nossa equação nos dá que

W t = 3 ⋅ e ⋅ e - 2 t = 3 ⋅ e 1 - 2 t

Agora para t = 5 , temos que nosso wronskiano nos dará

W 4 = 3 ⋅ e 1 - 2 4 = 3 ⋅ e 1 2

Esse é nosso valor para o wronskiano em t = 4 .

Resposta

W 4 = 3 ⋅ e 1 2

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