Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

25 y ' ' - 20 y ' + 4 y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

25 x 2 - 20 x + 4 = 0

Sendo: a = 25 ,   b = - 20 ,   c = 4 .

Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - ( - 20 ) ± ( - 20 2 ) - 4 . 25.4 2 . 25

x = - ( - 20 ) ± 400 - 400 2.25

x = 20 ± 0 50

x = 20 ± 0 50

x ' = 20 + 0 50 = 20 50 = 2 5 ,     x ' ' = 20 - 0 50 = 20 50 = 2 5

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 t + C 2 e t r 2 t

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e 2 5 t + C 2 e t 2 5 t

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