Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞?

.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que:

y = e r t

y ' = r e r t

y ' ' = r ² e r t

y ' ' ' = r ³ e r t

y 4 = r 4 e r t

r 4 + 6 r 3 + 17 r 2 + 22 r + 1 4   = 0

r = - 1 ± i   ,   - 2 ± i 3

y t = C 1 e - 1 - i t + C 2 e ( - 1 + i ) t + C 3 e ( - 2 - i 3 ) t + C 4 e ( - 2 + i 3 ) t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y 0 = 1

y 0 ' = - 2

y 0 ' ' = 0

y 0 ' ' ' = 3

C 1 = 21 26 - i 19 13

C 2 = 21 26 + i 19 13

C 3 =   - 4 13 + i 17 3 78

C 4 =   - 4 13 - i 17 3 78

Resposta

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1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
2. Quais os operadores que definem as equações diferenciais seguintes?a) f ' ' = 0 b) 3 f ' ' + 2 f ' + f = 0 c) f n + f n - 1 + … + f ' + f = 0 d) f ' ' = - f e) f ' ' + f = 0
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