Enunciado

Encontre a soma da série.

3 + (9)/(2 !) + (27)/(3 !) + (81)/(4 !) + ...

Passo 1

Para calcular essa soma, vamos manipular até que reconheçamos a série como uma série de Taylor.

Neste caso podemos transformar os numeradores em potencias de 3

3 + (9)/(2 !) + (27)/(3 !) + (81)/(4 !) + ... = 3 + (3^2)/(2 !) + (3^3)/(3 !) + (3^4)/(4 !) + ...

Podemos reconhecer um padrão de forma que nossa série seja igual a

= sum_(n = 1)^(oo) (3^n)/(n !)

Temos uma série que está quase no formato da exponencial

e^x = sum_(n = 0)^(oo) (x^n)/(n !)

Mas não temos o primeiro termo, pra isso vamos soma-lo a série e subtrair fora dela

sum_(n = 1)^(oo) (3^n)/(n !) = sum_(n = 0)^(oo) (3^n)/(n !) - (3^0)/(0 !)

Substituindo a série pela exponencial

= e^3 - 1

Resposta

e^3 - 1

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