Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

f x = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) ,                     a = 1 ,                     n = 3 ,                     0 , 5 ≤ x ≤ 1 , 5

Passo 1

  1. Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
  2. ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

    Para n = 3 precisaremos até a terceira derivada, então derivando e substituindo no centro x = 1

    f = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) ⇒ f 1 = ln ⁡ 3

    f ' = 2 1 + 2 x ⇒ f ' 1 = 2 3

    f ' ' = - 4 1 + 2 x 2 ⇒ f ' ' 1 = - 4 9

    f ' ' ' x = 16 1 + 2 x 3 ⇒ f ' ' ' 1 = 16 27

    Então nosso polinômio é

    T 3 = ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 4 9 ⋅ 2 ! x - 1 2 + 16 27 ⋅ 3 ! x - 1 3

    T 3 = ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 2 9 x - 1 2 + 8 81 x - 1 3

    Passo 2

  3. Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então
  4. R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

    Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quarta derivada

    f ' ' ' ' x = - 9 6 1 + 2 x 4

    Agora precisamos de um valor M que seja maior que essa função em todo o intervalo 0 , 5 ≤ x ≤ 1 , 5 , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de f ' ' ' ' x está crescente, porém é negativa, então em módulo para pegarmos o maior valor da função, precisamos do menor valor do intervalo ( 0 , 5 ) e substituirmos, podemos dizer que

    f ' ' ' ' x ≤ f ' ' ' ' 0 , 5 ,                     x ∈ [ 0 . 5 , 1 . 5 ]

    Então podemos usar

    M = f ' ' ' ' 0,5 = - 96 1 + 2 ( 0,5 ) 4 = 96 2 4 = 6

    Passo 3

    Temos então que

    R 3 x ≤ 6 4 ! x - 1 4

    Agora precisamos do valor de x - 1 4 , se manipularmos o intervalo 0 , 5 ≤ x ≤ 1 , 5 subtraindo 1 em todas as partes da igualdade

    - 0 , 5 ≤ x - 1 ≤ 0 , 5

    Podemos colocar em módulo

    x - 1 ≤ 0 , 5

    Elevando a quarta potencia

    x - 1 4 ≤ 0,0625

    Logo

    R 3 x ≤ 6 4 ! 0,0625

    R 3 x ≤ 0,015625 = 1,6 × 10 - 2

    Passo 4

  5. Traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 3 = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) - T 3

R 3 = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) - ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 2 9 x - 1 2 + 8 81 x - 1 3

R 3 = ln ⁡ ( 1 + 2 x ) - ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 2 9 x - 1 2 + 8 81 x - 1 3

No plano

Pelo gráfico podemos ver que que o erro é menor que 5 × 10 - 3 .

Resposta

  1. T 3 = ln ⁡ 3 + 2 3 x - 1 - 2 9 x - 1 2 + 8 81 x - 1 3
  2. R 3 x ≤ 1,6 × 10 - 2
  3. y = | R 3 ( x ) |

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Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) para a função f ao redor de a . Esboce o gráfico de f e de T 3 no mesmo gráfico.
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