Enunciado

Encontre as somas das séries nos Exercícios 19-24.

19. ∑ n = 3 ∞ 1 ( 2 n - 3 ) ( 2 n - 1 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A série ∑ a n ​converge se sua sequência de somas parciais correspondentes

s n = ∑ k = 1 n a k

Ou seja, se existe um número L tal que:

lim n → ∞ ⁡ s n = L

Se a sequência de somas parciais correspondentes converge para o número L , então dizemos que a soma da série ∑ a n ​ é igual a L tal que:

∑ n = 1 ∞ a n = L

Caso contrário, se a sequência de somas parciais não convergir, dizemos que a série ∑ a n ​ diverge.

Passo 2

Pelas condições do problema, sabemos que o enésimo termo da série é dado por:

a n = 1 ( 2 n - 3 ) ( 2 n - 1 )     ( 1 )

Para facilitar a determinação da enésima soma parcial, dividiremos a n em frações parciais (alguns membros da soma serão reduzidos então). No denominador contém dois fatores, então a fração pode ser dividida em duas partes separadas. Os fatores no denominador são lineares, então colocamos constantes no numerador:

1 2 n - 3 2 n - 1 = A 2 n - 3 + B 2 n - 1

Desenvolvendo os termos, nós temos que

1 ( 2 n - 3 ) ( 2 n - 1 ) = A 2 n - 1 + B ( 2 n + 3 ) ( 2 n - 3 ) ( 2 n - 1 ) = 2 A + 2 B n + ( - A - 3 B ) ( 2 n - 3 ) ( 2 n - 1 )   ( 2 )

Duas frações com o mesmo denominador são iguais somente se seus numerais forem iguais. Portanto, concluímos da expressão (2) que a seguinte igualdade deve valer:

1 = 2 A + 2 B n + - A - 3 B

Dois polinômios são iguais se os coeficientes na frente de n 1 e n 0 são iguais:

2 A + 2 B = 0

- A - 3 B = 1

Multiplicando a segunda equação por 2 e somando com a primeira, obtemos:

- 4 B = 2 → B = - 1 2

Incluindo B = - 1 2 na segunda equação, obtemos:

A = - 1 - 3 ∙ - 1 2 = 1 2

Passo 3

Se incluirmos os coeficientes A = 1 2 ​ e B = - 1 2 na expressão (2), obtemos que o enésimo termo da série é:

a n = 1 2 ∙ 1 2 n - 3 - 1 2 ∙ 1 2 n - 1 = 1 2 ∙ 1 2 n - 3 - 1 2 n - 1

Vamos determinar a soma do primeiro n-ésimo termo da série (n-ésima soma parcial). Observe como a soma na série começa em n = 3 . Portanto, a soma da enésima soma parcial começará de k = 3 :

s n = ∑ k = 3 ∞ a k = ∑ k = 3 ∞ 1 2 1 2 k - 3 - 1 2 k - 1 = 1 2 ∑ k = 3 ∞ 1 2 k - 3 - 1 2 k - 1   ( 3 )

Se chamarmos o primeiro e o último três termos da soma de (3), obtemos:

s n = 1 2 ∙ 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 + 1 7 - 1 9 + … + 1 2 n - 3 - 1 2 n - 1   ( 4 )

Observe que na soma (4) todos os termos vizinhos são reduzidos e apenas o primeiro e o último termos permanecem:

s n = 1 2 1 3 - 1 2 n - 1   ( 5 )

Para determinar se a ordem converge ou diverge, avaliaremos o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ s n

Passo 4

Incluindo a fórmula da enésima soma parcial (5) no limite anterior, obtemos:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 1 3 - 1 2 n - 1   ( 6 )

Quando n se aproxima do infinito então a fração 1 2 n - 1 ​ vai para 0, então a avaliação do limite (6) é:

lim n → ∞ ⁡ s n = 1 2 ∙ 1 3 - 0 = 1 6

Como o limite da enésima soma parcial é um número finito (e é igual a 1/6​), concluímos que a sequência de somas parciais converge. E então, de acordo com a definição da série, a série ∑ a n ​ também converge.

E então a soma da série ∑ a n ​ é igual ao limite da enésima soma parcial, e escrevemos como:

∑ n = 1 ∞ a n = 1 6

Resposta

∑ n = 1 ∞ a n = 1 6

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n (n)/(n + 2)
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 3 5 n + 2 n
Nos exercícios 27-34, use o teste n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. ∑ n = 1 ∞ n n + 10
Nos exercícios 27-34, use o teste n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. ∑ n = 0 ∞ e n e n + n
Nos exercícios 27-34, use o teste n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. ∑ n = 1 ∞ l n 1 n