Enunciado

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = 2 ln ⁡ x + ln ⁡ y - 4 x - y

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 2 x - 4

f y = 1 y - 1

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

2 x - 4 = 0         ( I ) 1 y - 1 = 0     ( I I )

Para a equação (I):

2 x - 4 = 0 → x = 1 2

E na equação (II):

1 y - 1 = 0 → y = 1

Sendo assim, temos o ponto 1 2 ,   1 .

Passo 3

Com o ponto encontrado no Passo 2, precisamos definir se é de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x x = - 2 x 2

f y y = - 1 y 2

f x y = 0

Passo 4

Sendo assim, temos:

f x x = - 2 1 2 2 = - 8

Então, este pode ser um ponto de máximo local, vamos confirmar por:

f x x f y y - f x y 2 = - 8 ∙ - 1 1 2 - 0 2 = 8

Como o valor encontrado é maior que zero, podemos dizer que 1 2 ,   1 é um máximo local.

Tchau pessoal.

Resposta

  • f 1 2 ,   1 máximo local.

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