Enunciado

Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.

8. z = 2 y 3 - 3 x 4 - 6 x 2 y + 5

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = - 12 x 3 - 12 x y , 6 y 2 - 6 x 2

Passo 2

Igualando a zero, teremos:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 0,0

- 12 x 3 - 12 x y = 0

x x 2 + y = 0

x = 0   o u   y = - x 2   ( 1 )

E também,

      6 y 2 - 6 x 2 = 0

y 2 = x 2

  x 2 = y 2

x = y

y = ± x

y = x   o u   y = - x   ( 2 )

Fazendo as combinações possíveis dos valores da linha (1) e (2):

0,0 , - 1 , - 1 , 1 , - 1

Note que o (-1,-1) decorre de

- x 2 = x

x 2 + x = 0

x = 0   o u   x = - 1

Como o caso (0,0) já foi contado, ficamos apenas com (-1,-1).

No caso do (1,-1), temos que

- x 2 = - x

x 2 - x = 0

x = 0   o u   x = 1

Como o caso (0,0) já foi contado, ficamos apenas com (1,-1).

Perceba que as derivadas parciais de primeira ordem existem em todo ( x , y ) ∈ D f ,portanto, não há nenhum outro ponto crítico além dos que já encontramos.

Resposta

0,0 , 1 , - 1 , - 1 , - 1

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