Enunciado

Encontre todos os pontos onde f não é diferenciável. Justifique sua resposta.

(a) f x = 3 x - 2

Passo 1

Se liga nesse teorema:

“Teorema: Seja f uma função contínua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' ( x 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) .”

Então, para ser diferenciável, a função deve ser contínua.

Passo 2

Para uma função ser contínua em um ponto x 0 :

lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = f x 0

Se isso acontecer, f é contínua em x = x 0 .

Então, queremos um ponto em que a função não seja contínua. Mas são tantos ponto possíveis, qual posso testar?

Passo 3

Se liga aqui, vou te dar uma dica nessas horas:

Vamos pensar numa parábola x 2 . Seu gráfico é:

E se a gente der um zoom maneiro em algum ponto desse gráfico, vamos ter algo:

Repare que quanto maior o zoom que nós damos, a parábola se parece cada vez mais perto de uma reta.

Agora, vamos olhar para essa função módulo que temos no problema, f x = 3 x - 2 . Seu gráfico é:

Vemos duas retas, que se dermos zoom, vamos continuar vendo retas. Mas e esse vértice em x = 2 3 ? Se a gente der um zoom nele, muda alguma coisa? Vamos ver:

Cara, o gráfico continua com aquela cara de triângulo invertido, certo? Esse ponto é um forte candidato pra gente, então!!

Aí você pode se perguntar sobre o vértice da parábola, a grande dica é: a parábola possui uma curva naquele local, o que dá um comportamento “diferenciável”, digamos assim, isso porque curvas possuem derivadas (pelo menos a princípio). A função módulo tem um ponto ali, rodeado de retas. As retas possuem uma derivada, só olhar para equação da reta y = a x + b , se você deriva, acha y ' = a , então qualquer reta tem uma derivada (pelo menos a princípio). Agora, nesse vértice do módulo, temos um ponto. “Pontos não são deriváveis”, isso porque ao derivar uma forma, você diminui a dimensão dela e o ponto já é a menor dimensão possível (dimensão 0). Beleza?

Conclusão: vamos tester o ponto x = 2 3 , porque ele está no vértice desse módulo.

Passo 4

Calculando o limite:

lim x → 2 3 ⁡ f ( x )

Onde:

f x = 3 x - 2

Ou seja, ela é definida por:

f x = 3 x - 2 ,       x ≥ 2 3 - 3 x + 2 ,       x < 2 3

Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.

Limite lateral pela esquerda:

lim x → 2 3 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 3 - ⁡ - 3 x + 2 = 0

Limite lateral pela direita:

lim x → 2 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 3 + ⁡ 3 x - 2 = 0

Opa, os limites laterais coincidiram, então:

lim x → 2 3 ⁡ f ( x ) = 0

Passo 5

Para a função ser contínua em x = 2 3 :

lim x → 2 3 ⁡ f ( x ) = f 2 3

Como vimos:

lim x → 2 3 ⁡ f ( x ) = 2 3

Agora, olhando para a função:

f x = 3 x - 2 ,       x ≥ 2 3 - 3 x + 2 ,       x < 2 3

Quando x = 2 3 , a função vale obedece essa equação: 3 x - 2 . Então:

f 2 3 = 3 × 2 3 - 2 = 0

Muito bom! Dessa forma, f é contínua em x = 2 3 , já que:

lim x → 2 3 ⁡ f ( x ) = f 2 3 = 0

Passo 6

Agora, falta só ver se lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) existe.

Vamos calcular o limite:

lim x → x 0 ⁡ f ' ( x )

Se f x = 3 x - 2 ,       x ≥ 2 3 - 3 x + 2 ,       x < 2 3 , então:

f ' x = 3 ,       x ≥ 2 3 - 3 ,       x < 2 3

Calculando os limites laterais:

Limite lateral pela esquerda:

lim x → 2 3 - ⁡ f ' x = lim x → 2 3 - ⁡ 3 = 3

Limite lateral pela direita:

lim x → 2 3 + ⁡ f ' ( x ) = lim x → 2 3 + ⁡ - 3 = - 3

Como os limites não laterais coincidiram, o limite não existe e, portanto, f ( x ) não é diferenciável em x = 2 3 , como esperado! Em todos os outros pontos, a função será diferenciável.

Resposta

f ( x ) não é diferenciável em x = 2 3 .

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