Enunciado

Determine se a função dada é diferenciável em um valor x = x 0 , sendo que f está definida por fórmulas diferentes em lados diferentes de x 0 . Para isso, pode ser usado o resultado seguinte, que é uma consequência do Teorema do Valor Médio. Teorema: Seja f uma função contínua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' ( x 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) .

Seja:

f x = x 3 + 1 16 ,       x < 1 2 3 4 x 2 ,       x ≥ 1 2

Determine se f é diferenciável em x = 1 2 . Se for, encontre o valor da derivada nesse ponto.

Passo 1

O primeiro passo é descobrir se a função é contínua em x = 1 2 . Para isso, precisamos que:

lim x → 1 2 ⁡ f ( x ) = f 1 2

Se isso acontecer, f é contínua em x = 1 2 .

Passo 2

Calculando o limite:

lim x → 1 2 ⁡ f ( x )

Onde:

f x = x 3 + 1 16 ,       x < 1 2 3 4 x 2 ,       x ≥ 1 2

Vamos olhar para os limites laterais e eles devem coincidir.

Limite lateral pela esquerda:

lim x → 1 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 2 - ⁡ ( x 3 + 1 16 ) = 3 16

Limite lateral pela direita:

lim x → 1 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 2 + ⁡ 3 4 x 2 = 3 16

Opa, os limites laterais coincidiram, então:

lim x → 1 2 ⁡ f ( x ) = 3 16

Passo 3

Para a função ser contínua em x = 1 2 :

lim x → 1 2 ⁡ f ( x ) = f 1 2

Como vimos:

lim x → 1 2 ⁡ f ( x ) = 3 16

Agora, olhando para a função:

f x = x 3 + 1 16 ,       x < 1 2 3 4 x 2 ,       x ≥ 1 2

Quando x = 1 2 , a função vale obedece essa equação: x 3 + 1 16 . Então:

f 1 2 = 3 4 1 2 2 = 3 16

Muito bom! Dessa forma, f é contínua em x = 1 2 , já que:

lim x → 1 2 ⁡ f ( x ) = f 1 2 = 3 16

Passo 4

Agora, vamos olhar para o teorema do enunciado:

“Teorema: Seja f uma função contínua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e f ' ( x 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) .”

Para saber se f é diferenciável em x = 1 2 , falta só que verificar se lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) existe, pois já vimos que f é contínua em x = 1 2 .

Passo 5

Vamos calcular o limite:

lim x → x 0 ⁡ f ' ( x )

Se f x = x 3 + 1 16 ,       x < 1 2 3 4 x 2 ,       x ≥ 1 2 , então:

f ' x = 3 x 2 ,       x < 1 2 3 2 x ,       x ≥ 1 2

Calculando os limites laterais:

Limite lateral pela esquerda:

lim x → 1 2 - ⁡ f ' x = lim x → 1 2 - ⁡ 3 x 2 = 3 4

Limite lateral pela direita:

lim x → 1 2 + ⁡ f ' ( x ) = lim x → 1 2 + ⁡ 3 2 x = 3 4

Como os limites laterais coincidiram, o limite existe e:

lim x → 1 2 ⁡ f ' ( x ) = 3 4

Passo 6

Como vimos que f é contínua em x = 1 2 e lim x → 1 2 ⁡ f ' ( x ) existe, então f é diferenciável em x = 1 2 e, portanto:

f ' 1 2 = lim x → 1 2 ⁡ f ' ( x ) = 3 4

Resposta

A função é diferenciável em x = 1 e f ' 1 2 = 3 4 .

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