Enunciado

Represente graficamente as curvas nos Exercícios 37-46

  1. Em que ponto os gráficos parecem ter tangentes verticais?
  2. Confirme as suas conclusões no item (a) com cálculos de limite. Mas, antes disso, leia a introdução dos Exercícios 35 e 36.

y = x 3 / 5

Passo 1

Para responder a letra a, vamos precisar fazer um esboço da função em um gráfico

Olhando para o gráfico parece que a função possui tangente vertical em x = 0 .

Passo 2

Agora precisamos concluir com cálculos se o que a gente definiu na letra a está correto. Para isso precisamos lembrar da definição de derivada

m = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Passo 3

Substituindo a função f x na equação acima

m = lim h → 0 ⁡ x + h 3 5 - x 3 5 h

Depois vamos substituir o valor de x dado

m = lim h → 0 ⁡ 0 + h 3 5 - 0 3 5 h

m = lim h → 0 ⁡ h 3 5 h

m = lim h → 0 ⁡ 1 h 2 5

Passo 4

Aplicando os limites laterais

m = lim h → 0 - ⁡ 1 h 2 5 = ∞

m = lim h → 0 + ⁡ 1 h 2 5 = ∞

lim h → 0 + ⁡ 1 h 2 5 = lim h → 0 - ⁡ 1 h 2 5

Como os limites laterais são iguais, f x possui limite e como ele vai para , ele possui tangente vertical em x = 0 .

Resposta

f ( x ) possui tangente vertical em x = 0

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Encontre uma função y = a x 2 + b x + c cujo gráfico corte o eixo x no ponto 1 , o eixo y em - 2 e que tenha uma reta tangente de inclinação - 1 no ponto de corte com o eixo y .
Mostre que, se x ≠ 0 , então y= 1 x satisfaz a equação x 3 y ' ' + x 2 y ' - x y = 0 .
Mostre que y = x 3 + 3 x + 1 satisfaz y ' ' ' + x y ' ' - 2 y ' = 0 .
Encontre a coordenada x do ponto no gráfico de y = x no qual a reta tangente é paralela à reta secante que corta a curva em x = 1 e x = 4 .
Use um recurso gráfico para obter uma estimativa da localização das linhas tangentes horizontais. Depois, encontre a localização exata por diferenciação. y = x 3 3 - 3 x 2 2 + 2 x