Enunciado

Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f ( t ) = ∫ 0 t e - ( t - τ ) s e n ( τ ) d τ

Passo 1

Reconheça que f (t) é uma convolução integral das duas funções, e - t e s e n ( t ) . A transformada de Laplace de f (t) pode ser encontrada usando o teorema da convolução, que afirma que:

ℒ { ∫ 0 t g ( t - τ ) h ( τ ) d τ } = G ( s ) H ( s ) ,

onde G e H são as transformadas de Laplace de g e h, respectivamente.

Passo 2

Portanto,

ℒ { f ( t ) } = ℒ { ∫ 0 t e - ( t - τ ) s e n ( τ ) d τ } = ℒ { e - t } ℒ { s e n ( t ) } = 1 ( s + 1 ) ( s 2 + 1 )

Resposta

ℒ { f ( t ) } = 1 ( s + 1 ) ( s 2 + 1 )

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