Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite (se ele realmente existir):

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4

Veja que se você jogar direto - 4 em x e tentar calcular, vai ver que vai chegar em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Assim, precisamos manipular a função do limite pra chegar à resposta!

Geralmente, para os limites que tem raiz envolvida, você consegue fazer uma simplificação racionalizando.

Racionalizar nada mais é que multiplicar em cima e embaixo na fração pelo termo conjugado do qual a raiz está presente.

Por exemplo, se temos no numerador (ou no denominador) um termo do tipo u + b , pra racionalizar, multiplicamos por u - b .

Assim, a gente resulta em um produto notável do tipo a + b ∙ a - b = a 2 - b 2 .

Você vai ver que isso vai ajudar muito a gente!

Passo 2

Vamos começar multiplicando a expressão pelo conjugado do numerador:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5 x 2 + 9 + 5

Realizando a multiplicação, temos:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 25 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5

Simplificando o numerador, obtemos:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x 2 - 16 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5

Se você manja de produtos notáveis, já viu que o numerador pode ser fatorado e vai ser cortado com o termo ( x + 4 ) no denominador.

Isso acaba com o nosso problema da indeterminação 0 0 !!

Quer saber como?? Bora junto!!

Passo 3

Fatoramos o numerador e teremos:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x - 4 ∙ x + 4 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5

“Cortando” os termos iguais, temos:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x - 4 x 2 + 9 + 5

Agora aplicamos - 4 em x e vemos o resultado que vamos obter?

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 4 - 4 - 4 2 + 9 + 5

Agora é só resolver essa expressão numérica!! Bora lá!!

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 8 16 + 9 + 5 ∴

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 8 25 + 5 ∴

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 8 5 + 5 ∴

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 8 10 ∴

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 4 5

Resposta

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 4 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Calcule o limite.underset(x - 3^-)(lim) (x)/(x - 3)
Calcule o limite.underset(y - - oo)(lim) (3 - y)/(sqrt(5 + 4 y^2))
Calcule o limite, se existir. lim x → - 1 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4