Enunciado

Calcule o limite, se existir.

30. lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4

Passo 1

Se você jogar direto -4 em x e tentar calcular, vai ver que vai chegar em uma indeterminação do tipo 0 0 . Precisamos manipular a função do limite pra chegar à resposta!

Geralmente, pros limites que tem raiz envolvida, você consegue fazer uma simplificação racionalizando.

Racionalizar nada mais é que multiplicar em cima e embaixo na fração pelo termo conjugado do qual a raiz está presente.

Por exemplo, se temos no numerador (ou no denominador) um termo do tipo u + b , pra racionalizar, multiplicamos por u - b . Assim, a gente resulta em um produto notável do tipo a + b ∙ a - b = a 2 - b 2 . Você vai ver que isso vai ajudar muito a gente!

Passo 2

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5 x 2 + 9 + 5 =

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 25 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5 =

lim x → - 4 ⁡ x 2 - 16 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5 =

Se você manja de produtos notáveis, já viu que o numerador pode ser fatorado e vai ser cortado com o termo ( x + 4 ) no denominador. Isso acaba com o nosso problema da indeterminação 0 0 .

Passo 3

Fatoramos o numerador e teremos:

lim x → - 4 ⁡ x 2 - 16 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5 = lim x → - 4 ⁡ x - 4 ∙ x + 4 x + 4 ∙ x 2 + 9 + 5 =

lim x → - 4 ⁡ x - 4 x 2 + 9 + 5

Agora aplicamos -4 em x e vemos o resultado que vamos obter?

lim x → - 4 ⁡ x - 4 x 2 + 9 + 5 = - 4 - 4 - 4 2 + 9 + 5 = - 8 16 + 9 + 5 =

= - 8 25 + 5 = - 8 5 + 5 = - 8 10 =

= - 4 5

Resposta

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 4 5

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