Enunciado

Encontre o valor exato da quantidade dada:

sec [arc sen (- (3)/(4))]

Passo 1

Fala povo, tudo certo? Vamos começar de dentro pra fora, tudo bem? Imagina que temos:

y = arc sen (- (3)/(4))

Como, lendo isso, temos que y é o arco cujo seno é - (3)/(4) , podemos reescrever isso de forma a trabalhar sem inversas. Ou seja:

- (3)/(4) = sen (y)

A gente pode arrumar ainda pra não nos preocuparmos com o sinal de negativo. Afinal, das propriedades dos senos, temos:

sen (y) = - sen (- y)

- (3)/(4) = - sen (- y)

sen (- y) = (3)/(4)

A gente pode montar um triângulo auxiliar com esse resultado viu? Um cuidado aqui, como o arco é negativo, vamos deixar esse triângulo de cabeça pra baixo pra indicar que rodamos o círculo trigonométrico no sentido horário (sentido dos arcos negativos). Logo, usando y como o valor do arco, temos:

Por Pitágoras, completamos esse triângulo:

C^2 + (3)^2 = 4^2

C^2 + 9 = 16

C^2 = 7

C = sqrt(7)

E galera, olha o pulo do gato. Como a questão quer:

sec [arc sen (- (3)/(4))]

E nós chamamos:

y = arc sen (- (3)/(4))

Então basta a gente encontrar sec [y] ! Do triângulo auxiliar, temos:

cos (y) = (c a t e t o a d j a c e n t e)/(h i p o t e n u s a)

(1)/(cos (y)) = sec [y] = (h i p o t e n u s a)/(c a t e t o a d j a c e n t e)

sec [y] = (4)/(sqrt(7))

Resposta

sec [arc sen (- (3)/(4))] = (4)/(sqrt(7))

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