Enunciado

  1. Seja f uma função um a um com domínio A e imagem B . Como é definida a função inversa f - 1 ? Qual o domínio de f - 1 ? Qual a imagem de f - 1 ?
  2. Se for dada uma fórmula para f , como você encontrará uma fórmula para f - 1 ?
  3. Se for dado o gráfico de f , como você encontrará o gráfico de f - 1 ?

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão temos três itens a serem respondidos.

a) Dada uma função f (função um a um)com domínio A e imagem B . Quer saber como é definida a função inversa f - 1 , qual o seu domínio e qual a sua imagem.

Pra isso vamos lembrar que uma função f é chamada um a um se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes.

E temos da definição que em uma função f um a um com domínio A e imagem B , então a função inversa f - 1 tem domínio B e a imagem A , sendo definida por

f - 1 y = x

b) Nesse item vamos encontrar uma fórmula para a função inversa f - 1 , se for dada uma fórmula para f .

Pra isso percorremos três passos:

1- Escreva y = f x .

2- Resolva essa equação para x em termos de y (se possível).

3- Para expressar f - 1 como uma função de x , troque x por y . A equação resultante é:

y = f - 1 x

c) Nesse último item pergunta como encontramos o gráfico da função inversa f - 1 , se for dado o gráfico de f .

Pra obter o gráfico de f - 1 refletimos o gráfico de f em torno da reta y = x

Passo 2

a) A função inversa de f é definida como: Se f - 1 y = x → f x = y . Nesse caso, o domínio da inversa passa a ser B e a imagem A . Dada a fórmula de f , para encontrarmos a sua inversa devemos fazer

Passo 3

b) Passo 1: escrever y = f x .

Passo 2: Resolva essa equação para x em termos de y , ou seja, trocando x por y e y por x (se possível).

Passo 3: a nossa função inversa vai ser dada isolando o nosso novo y .

Passo 4

c) Por fim, dado o gráfico de f , para encontramos f - 1 devemos refletir o gráfico de f em relação a reta y = x .

Resposta

( a ) Se f - 1 y = x → f x = y . Nesse caso, o domínio da inversa passa a ser B e a imagem A

( b )

Passo 1: escrever y = f x .

Passo 2: Resolva essa equação para x em termos de y , ou seja, trocando x por y e y por x (se possível).

Passo 3: a nossa função inversa vai ser dada isolando o nosso novo y .

( c ) Devemos refletir o gráfico de f em relação a reta y = x .

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