Enunciado

Encontre o valor máximo de s = xy + yz + xz onde x + y + z = 6.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos encontrar o valor máximo de s = x y + y z + x z onde x + y + z = 6 ? Então acompanhe a solução a seguir!

Passo 2

Seja s ( x , y , z ) = x y + y z + x z , tal que x + y + z = 6 . Reescrevendo a função x + y + z = 6 , temos:

z = 6 - x - y

Agora, substituindo em s ( x , y , z ) = x y + y z + x z , teremos:

s ( x , y ) = x y + y ( 6 - x - y ) + x ( 6 - x - y ) s ( x , y ) = 6 x + 6 y - x y - x 2 - y 2

E fazendo as derivadas parciais e igualando a zero, temos:

s x ( x , y ) = 6 - 2 x - y = 0 s y ( x , y ) = 6 - x - 2 y = 0

Observamos que o ponto crítico ( 2,2 ) é a solução do sistema. Substituindo em x + y + z = 6 , encontramos que z = 2 .Veja que, para sabermos qual o tipo de ponto crítico temos, calcularemos as segundas derivadas parciais:

s x x ( 2,2 ) = - 2 s y y ( 2,2 ) = - 2 s x y ( 2,2 ) = - 1

Assim:

S x x S y y - S x y 2 = 3 > 0 S x x < 0

Temos um local máximo.Podemos concluir que o ponto ( 2,2 , 2 ) é o ponto de valor máximo. O valor é s ( 2,2 , 2 ) = 12 .

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Estabeleça o fato, amplamente utilizado na hidrodinâmica, de que, se f ( x , y , z ) = 0 , então ∂ x ∂ y z ∂ y ∂ z x ∂ z ∂ x y = - 1 . (Sugestão: expresse todas as derivadas nos termos das derivadas p
Nos Exercícios 1-3, comece desenhando um diagrama que mostreas relações entre as variáveis.Seja U = f ( P , V , T ) a energia interna de um gás que obedece à lei do gás ideal P V = n R T ( n e R const
Suponha que a equação g ( x , y , z ) = 0 determina z como função derivável das variáveis independentes x e y e que g z ≠ 0 . Mostre que ∂ z ∂ y x = - ∂ g / ∂ y ∂ g / ∂ z .
Suponha que x 2 + y 2 = r 2 e x = r c o s ⁡ θ , como nas coordenadas polares. Encontre ∂ x ∂ r θ e ∂ r ∂ x y
Encontrea. ((del w)/(del x))_y b. ((del w)/(del z))_y no ponto ( x , y , z ) = ( 0,1 , pi ) sew = x^2 + y^2 + z^2 e y s e n z + z s e n x = 0