Encontrea. (∂w/∂x)_y b. (∂w/∂z)_y no ponto (x, y, z) = (0,1, pi) se

w = x^2 + y^2 + z^2 e y \* sen(z) + z \* sen(x) = 0

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos(a) ∂ w ∂ x y (b) ∂ w ∂ z y No ponto ( x , y , z ) = ( 0,1 , π ) se w = x 2 + y 2 + z 2 e y s e n ⁡ z + z s e n ⁡ x = 0

Passo 2

(a)O diagrama é:

x y → x = x y = y z = z ( x , y ) → w

E a derivada então será:

∂ w ∂ x y = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ x + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ x

Temos que

∂ y ∂ x = 0   ( y c o s ⁡ z ) ∂ z ∂ x + ( s e n ⁡ x ) ∂ z ∂ x + z c o s ⁡ x = 0

Assim: ∂ z ∂ x = - z c o s ⁡ x y c o s ⁡ z + s e n ⁡ x

Passo 3

Usando o ponto ( 0,1 , π ) :

∂ z ∂ x = - π - 1 ∂ z ∂ x = π

Substituindo os valores encontrados na derivada temos:

∂ w ∂ x y ( 0,1 , n ) = ( 2 x ) ( 1 ) + ( 2 y ) ( 0 ) + ( 2 z ) ( π ) ( 0,1 , π )  Resposta:  ∂ w ∂ x y ( 0,1 , x ) = 2 π 2

Passo 4

(b)diagrama será:

y z → x = x ( y , z ) y = y z = z → w

E a derivada será então:

∂ w ∂ x y = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ z + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ z + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ z ∂ w ∂ x y = ( 2 x ) ∂ x ∂ z + ( 2 y ) ( 0 ) + ( 2 z ) ( 1 ) ∂ w ∂ x y = ( 2 x ) ∂ x ∂ z + 2 z

Temos também que

( s e n ⁡ z ) ∂ y ∂ z + y c o s ⁡ z + s e n ⁡ x + ( z c o s ⁡ x ) ∂ x ∂ z = 0  e  ∂ y ∂ z = 0

Isso nos leva a:

∂ x ∂ z = - y c o s ⁡ z - s e n ⁡ x z c o s ⁡ x

Passo 5

Usando o ponto ( 0,1 , π ) encontramos que:

∂ x ∂ z = 1 - 0 ( π ) ( 1 ) = 1 π

Substituindo os valores encontrados, temos:

∂ w ∂ z y [ ( 0,1 , π ) = 2 ( 0 ) 1 π + 2 π  Resposta:  ∂ w ∂ z y ( 0,1 , π ) = 2 π

Resposta

Resposta nos passos.

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