Enunciado

Encontre o valor médio da função ƒ(r, u, z) = r sobre a região

delimitada pelo cilindro r = 1 entre os planos z = –1 e z = 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício nosso objetivo é calcular o valor médio de uma função no espaço sobre uma região D. Já sabemos calcular valores médios para coordenadas cartesianas, certo? Agora vamos nos basear nessa ideia e calcular o valor em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Sabemos que a função é descrita por f ( r , θ , z ) = r sobre a região limitada pelo cilindro de equação r = 1 , bem como entre os planos z = - 1 e z = 1 .A integral que descreve o valor médio de F sobre D é dada por:  Valor médio  = 1  volume de  D ∭ D   F d V

Passo 3

Neste passo precisamos definir os limitantes da integral.O intervalo de r é definido pela equação do cilindro, logo:

0 ≤ r ≤ 1

Para z teremos o intervalo definido pelos planos, então:

- 1 ≤ z ≤ 1

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Vamos agora encontrar o valor médio da função F sobre a região D . Substituindo os valores chegamos no resultado:

 Valor médio    = 1 2 π ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     ∫ - 1 1     r 2 d z d r d θ   = 1 2 π ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     2 r 2 d r d θ   = 1 3 π ∫ 0 2 π     d θ   = 2 3

Resposta

Portanto, como resposta correta, temos que o valor médio da função é igual a 2 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 16 .
Calcular o volume do sólido acima do paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo do cone z = x 2 + y 2 .
Calcular o volume do sólido acima do plano xy e interior às superfícies z = 9 - x 2 - y 2 e x 2 + y 2 = 1 .
Calcular o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x a + y b + z c = 1 .
Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.11. x 2 + y 2 = 16 ; z = 2 e x + z = 9 .