Enunciado

Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 16 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

O z será definido por z = 0 , certo? Já que nosso plano xy está nos limitando aqui. E:

z = x 2 + y 2

Em coordenadas cilíndricas:

z = r 2

Então:

0 ≤ z ≤ r 2

Para definir o r nós vamos olhar o cilindro:

r 2 = 16

r = ± 4

Sendo assim:

0 ≤ r ≤ 4

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∭ T r . d z . d r . d θ

= ∬ R ∫ 0 r 2 d z r . d r . d θ

Resolvendo:

∫ 0 r 2 d z = z = r 2

Sendo assim:

= ∬ R ( r 2 ) r . d r . d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r 3 d r d θ  

Resolvendo a integral:

∫ 0 4 r 3 d r = r 4 4 = 4 4 4 = 4 3 = 64

Então:

= ∫ 0 2 π 64 d θ = 64 × 2 π

= 128 π

Finalizamos mais umaa !!

Resposta

128 π

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