Enunciado

Calcular o volume do sólido acima do paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo do cone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

O problema já nos disse, certo?

x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Em coordenadas cilíndricas:

x 2 + y 2 = r 2

Então:

r 2 ≤ z ≤ r

Para definir o r nós vamos olhar a interseção entre as duas figuras, que representa o maior raio possível

r 2 = r

r = 1

Sendo assim:

0 ≤ r ≤ 1

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∭ T r . d z . d r . d θ

= ∬ R ∫ r 2 r d z r . d r . d θ

Resolvendo:

∫ r 2 r d z = z = r - r 2

Sendo assim:

= ∬ R ( r - r 2 ) r . d r . d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r 2 - r 3 ) d r d θ  

Resolvendo a integral:

∫ 0 1 ( r 2 - r 3 ) d r = r 3 3 - r 4 4 = 1 3 - 1 4 = 1 12

Então:

= ∫ 0 2 π 1 12 d θ = 1 12 × 2 π

= π 6

Finalizamos mais umaa !!

Resposta

π 6

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