Enunciado

f x = 2 x / ( 1 + x 2 ) ² ,   [ 0,2 ]

a) Encontre o valor médio de f no intervalo dado.

b) Encontre c tal que f m e d = f ( c ) .

c) Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área é a mesma que a área sob o gráfico de f .

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema foi dada a função f x = 2 x / ( 1 + x 2 ) ² , e dentro do intervalo 0,2 queremos obter o valor medio de f , obter c de modo que f c = f m e d e esboçar o gráfico de f e um retângulo cuja área é a mesma que a área sob o gráfico de f

Parece complicado? 🤔

Para obter o valor medio de uma função f fazemos

f m e d = 1 ∆ t ∫ a b f x d x

E para obter c , fazemos f c e igualamos ao valor que encontramos em f m e d .

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

a) Encontrando o valor médio com ∆ t = b - a sendo a = 0 e b = 2

f m e d = 1 2 - 0 ∫ 0 2 2 x 1 + x 2 2 d x

Aplicando o método de substituição

Temos que u = 1 + x 2 ,   d u = 2 x d x , então

f m e d = 1 2 ∫ 1 5 1 u 2 d u

Calculando a integral e aplicando os limites de integração

f m e d = 1 2 - 1 u 1 5 = - 1 2 1 5 - 1

f m e d = 2 5

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Fazendo f c = f m e d , temos

f c = f m é d i o

2 c 1 + c 2 2 = 2 5

5 c = 1 + c 2 2 → c 1 = 0.220   c 2 ≈ 1.207

E por fim, fazendo o esboço do gráfico de f , temos

E aí! O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

  1. f m é d i o = 2 / 5
  2. c 1 = 0.220 ou c 2 ≈ 1.207
  3. Gráfico
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