Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas e visualmente estime a localização do centroide. Em seguida, calcule as coordenadas exatas do centroide

26. y = x ,   y = 0 ,   x = 4

Passo 1

Vamos começar vendo esse gráfico!

Agora vamos tentar adivinhar onde é o centroide hehe, vamos chutar mais ou menos x - = 2 e y - = 1 , mais ou menos aqui.

Passo 2

Agora vamos ver as coordenadas reais oficiais do nosso centroide, lembrando que as coordenadas do centroide são calculadas desse jeito aqui:

x - = 1 A ∫ a b x f x - g x d x

y - = 1 A ∫ a b 1 2 ( f x 2 - g x 2 ) d x

Como g x = 0 que seria y = 0 ficamos com:

x - = 1 A ∫ a b x f ( x ) d x

y - = 1 A ∫ a b 1 2 f x 2 d x

Passo 3

Antes de colocar a mão na massa para achar esses pontos vamos começar achando a área entre as funções. Como a nossa regição é delimitada pela função x e o eixo y = 0 entre x = 0 e x = 4 , ficamos com

A = ∫ 0 4 x d x

A = 2 x 3 2 3   0 4

A = 2 * 3 3 2 3

A = 16 3

Passo 4

Show, agora vamos partir pra cima das nossas coordenadas

Começando por x

x - = 1 16 3 ∫ 0 4 x x d x

Que é a mesma coisa que

x - = 3 16 ∫ 0 4 x 3 2 d x

x - = 3 16 * 2 x 5 2 5   0 4

x - = 3 16 * 2 ( 4 ) 5 2 5   0 4

Resolvendo isso ai ficamos com

x - = 3 16 * 2 5 * 32

x - = 12 5

Agora para y

y - = 1 16 3 ∫ 0 4 1 2 ( x ) 2 d x

y - = 3 16 * 1 2 ∫ 0 4 x d x

y - = 3 32 * x 2 2 0 4

y - = 3 63 * 16

y - = 3 4

Uhul, achamos nosso centroide e até que chegamos perto do resultado hehe

x - , y - = 12 5 , 3 4

Resposta

x - , y - = 12 5 , 3 4

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