Enunciado

Encontre o valor mínimo de f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 sujeito a restrição x + 2 y + 3 z = 10 . Mostre que f não tem valor máximo com essa restrição.

Passo 1

Bom, pelos multiplicadores de Lagrange temos que encontrar:

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Nesse caso temos:

2 x ,   4 y , 6 z = λ 1,2 , 3

2 x = λ

4 y = 2 λ

6 z = 3 λ

Agora vamos isolar o λ …

Passo 2

λ = 2 x = 4 y 2 = 6 z 3

λ = 2 x = 2 y = 2 z

x = y = z

Agora a gente substitui na restrição x + 2 y + 3 z = 10 ...

x + 2 x + 3 x = 10

6 x = 10

x = 10 6 = 5 3

Então o único ponto possível é:

5 3 , 5 3 , 5 3

Passo 3

Vamos testar o valor da função f nesse ponto:

f 5 3 , 5 3 , 5 3 = 25 9 + 50 9 + 75 9 = 150 9

Vamos verificar se esse é o valor máximo ou mínimo da função.

Temos que:

f x x = 2

f y y = 4

f z z = 6

f x y = 0

f x z = 0

f y z = 0

Então o D > 0 para qualquer valor.

E f x x > 0 também, então temos um valor mínimo aí.

Veja que se substituirmos o ponto 5 3 , 5 3 , 5 3 na restrição, encontramos 10 = 10 , então não poderíamos aumentar o valor dos pontos.

Ou seja, nessa restrição não temos um valor de máximo, apenas o mínimo 150 9 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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