Enunciado

19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique o por quê.

19. a n = 3 n 1 + 6 n

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certinho? Vamos ver como se resolve essa questão:

Resumindo o que a questão pede, basicamente nós teremos que calcular esses 10 primeiros termos de a n   e usá-los para plotar um gráfico, que aqui faremos no software GeoGebra para ficar mais legível.

Depois, precisaremos analisar esse gráfico e tentar identificar se os valores da sequência estão se aproximando de algum valor fixo.

Se sim, isso nos indica que a sequência é convergente e tem um limite, que precisaremos calcular no final para conferirmos se nossa análise incial faz sentido.

Bora lá!

Passo 2

Então pessoal, inicialmente devemos descobrir quanto vale os 10 primeiros termos da sequência. Para descobrirmos isso, basta substituirmos n por 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   8 ,   9 ,   10 . Isso é bem tranquilo de fazer, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

Para n = 1 :

a 1 = 3.1 1 + 6.1 = 0,4286

Para n = 2 :

a 2 = 3.2 1 + 6.2 = 0,4615

Para n = 3 :

a 3 = 3.3 1 + 6.3 = 0,4737

Para n = 4 :

a 4 = 3.4 1 + 6.4 = 0,4800

Para n = 5 :

a 5 = 3.5 1 + 6.5 = 0,4839

Para n = 6 :

a 6 = 3.6 1 + 6.6 = 0,4865

Para n = 7 :

a 7 = 3.7 1 + 6.7 = 0,4884

Para n = 8 :

a 8 = 3.8 1 + 6.8 = 0,4898

Para n = 9 :

a 9 = 3.9 1 + 6.9 = 0,4909

Para n = 10 :

a 10 = 3.10 1 + 6.10 = 0,4918

Passo 3

Agora que descobrimos os 10 primeiros termos da sequência, vamos colocar esses pontos em um gráfico. Se fizermos isso, teremos:

Se observarmos o gráfico com atenção, notaremos que a sequência aparenta se aproximar cada vez mais de 0,5 , não é mesmo? Então sim, a sequência aparenta ter um limite! Sendo assim, devemos calcular o limite dessa sequência para comprovarmos a observação!

Passo 4

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 1 + 6 n

Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau do denominador, que nesse caso é n . Fazendo isso, nós simplificamos muito nossa equação ficando com só uma incógnita n na nossa sequência, ao invés dessas duas que temos inicialmente. Assim, só precisaremos analisar o comportamento de n em um só termo da sequência. Teremos:

lim n → ∞ ⁡ 3 n n 1 n + 6 n n = lim n → ∞ ⁡ 3 1 n + 6

Como o limite de 1 n tendendo ao infinito é aproximadamente zero, então nosso resultado será:

lim n → ∞ ⁡ 3 1 n + 6 = lim n → ∞ ⁡ 3 0 + 6

O limite de uma constante é a própria constante, então:

lim n → ∞ ⁡ 3 6 = 3 6 = 0,5

Sendo assim, fica provado que, de fato, a sequência apresenta uma assíntota em 0,5 .

Resposta

Nossa sequência tem um limite e é 0,5 .

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