Enunciado

Se x 2 + x y + y 3 = 1 , encontre o valor de y ' ' ' no ponto onde x = 1 .

Passo 1

Nessa questão devemos usar derivação implícita para encontrar y ' ' ' , sendo que y foi dado na seguinte expressão:

x 2 + x y + y 3 = 1

Para derivar implicitamente basta derivar os dois lados da equação e sempre que for derivar em y tem que multiplicar por y ' .

Aqui ele só nos deu o valor de x = 1 . Para saber onde esse ponto está na nossa função, devemos substituí-lo na expressão dada.

Passo 2

Se x = 1 na equação x 2 + x y + y 3 = 1 , então, nós temos que:

1 + y + y 3 = 1

Isso implica que:

y 3 + y = 0

y y 2 + 1 = 0

Como y 2 + 1 é sempre maior ou igual a 1 e portanto não pode ser zero, temos que:

y = 0

E o ponto onde x = 1 é:

( 1,0 )

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a x , temos:

2 x + ( 1 ⋅ y + x ⋅ 1 ⋅ y ' ) + 3 y 2 ⋅ y ' = 0

Repara que rolou ali dentro do parênteses uma regra do produto.

Arrumando, temos:

2 x + y + x y ' + 3 y 2 y ' = 0

Substituindo pelos pontos que encontramos: 1,0 , nós ficamos com:

2 ⋅ 1 + 1 ⋅ y ' + 0 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 2 ⋅ y ' = 0

2 + y ' + 0 + 0 = 0

O que nos dá que:

y ' = - 2

Passo 4

Agora, precisamos derivar novamente, ou seja, vamos derivar a equação 2 x + y + x y ' + 3 y 2 y ' = 0

em relação a x e isso nos dá que:

2 + y ' + 1 y ' + x y ' ' + 3 ( 2 y y ' ⋅ y ' + y 2 y ' ' ) = 0

Arrumando, temos:

2 + 2 y ' + x y ' ' + 6 y y ' 2 + 3 y 2 y ' ' = 0

Agora faremos as seguintes substituições: x = 1 y = 0 y ' = - 2 . Então, ficamos com:

2 + 2 - 2 + 1 y ' ' + 6 0 - 2 2 + 3 0 2 y ' ' = 0

2 + 4 + y ' ' = 0

Isso implica que:

y ' ' = - 6

Passo 5

Agora vamos derivar implicitamente a equação 2 + 2 y ' + x y ' ' + 6 y y ' 2 + 3 y 2 y ' ' = 0

em relação a x .

Isso nos dá que:

0 + 2 y ' ' + 1 y ' ' + x y ' ' ' + 6 y ' y ' 2 + y 2 y ' y ' ' + 3 2 y y ' y ' ' + y 2 y ' ' ' = 0

Agora faremos as seguintes substituições:   x = 1 y = 0 y ' = - 2 y ' ' = - 6 . Então, ficamos com:

0 + 2 - 6 + - 6 + y ' ' ' + 6 - 2 3 + 2 0 - 2 - 6 + 3 2 0 - 2 - 6 + 0 2 y ' ' ' = 0

Organizando

- 12 - 6 + y ' ' ' + 6 - 8 = 0

- 18 + y ' ' ' - 48 = 0

Isso nos dá que:

y ' ' ' = 66

Resposta

y ' ' ' = 66

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