Passo 1

Nesta questão devemos utilizar o conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Derivando a equação dada e utilizando o item 2 mostrado acima vem

6 x 2 y + 2 x 3 d y d x + 3 y 3 + 9 x y 2 d y d x = 0

Jogando tudo que tem d y / d x pra um lado e o que não tem pra outro

2 x 3 d y d x + 9 x y 2 d y d x = - 3 y 3 - 6 x 2 y

2 x 3 + 9 x y 2 d y d x = - 3 y 3 - 6 x 2 y

d y d x = - 3 y 3 + 6 x 2 y 2 x 3 + 9 x y 2

E ta dááá!

Resposta

d y d x = - 3 y 3 + 6 x 2 y 2 x 3 + 9 x y 2

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