Enunciado

Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y sen ⁡ 2 x = x cos ⁡ 2 y ,   π 2 , π 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que encontremos a equação da reta tangente no ponto π 2 , π 4 da seguinte curva:

y sen ⁡ 2 x = x cos ⁡ 2 y

Para isso, devemos utilizar a derivação implícita!!

Em outras palavrvas, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada d y d x (ou y ' ).

Depois a gente substitui os pontos na equação da reta!!

Lembrando que a equação da reta é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Em que x 0 , y 0 são os pontos dados e m é a inclinação da reta!!

Se ainda não entendeu, vamos juntos que vai ficar melhor!! 😉

Ah, quando formos derivar algumas expressões a gente pode precisar da regra do produto. Então lembra aí:

u v ' = u ' v + u v '

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

d d x ( y sen ⁡ 2 x ) = d d x x cos ⁡ 2 y

Derivando os dois lados da igualdade, utilizando a regra do produto, temos:

y cos ⁡ 2 x ⋅ 2 + sen ⁡ 2 x ⋅ y ' = x - sen ⁡ 2 y ⋅ 2 y ' + cos ⁡ 2 y ⋅ 1 ∴

sen ⁡ 2 x ⋅ y ' + 2 x sen ⁡ 2 y ⋅ y ' = - 2 y cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 y

Passo 3

Agora, vamos arrumar a equação, e isolarmos y ' , então, ficamos com:

y ' ( sen ⁡ 2 x + 2 x sen ⁡ 2 y ) = - 2 y cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 y

E então,

y ' = - 2 y cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 y sen ⁡ 2 x + 2 x sen ⁡ 2 y

Passo 4

Agora, precisamos substituir os pontos dados:

Nós temos que: x = π 2 y = π 4 . Assim,

y ' = - 2 ( π 4 ) cos ⁡ 2 ( π 2 ) + cos ⁡ ( 2 π 4 ) sen ⁡ ( 2 π 2 ) + 2 ( π 2 ) sen ⁡ ( 2 π 4 )

Isso implica que:

y ' = - π 2 - 1 + 0 0 + π ⋅ 1 = π 2 π = 1 2

então uma equação da linha tangente é, utilizando a equação da reta:

y - π 4 = 1 2 x - π 2

ou

y = 1 2 x

Resposta

y = 1 2 x

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O gráfico da função abaixo possui alguma tangente horizontal no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π ? Se sim, onde? Se não, por quê? Visualiza os resultados representando as funções com uma ferramenta gráfica y = 2
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