Enunciado

Encontre os valores para os quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua pela direita, pela esquerda ou nenhum dos dois casos? Desenho o gráfico de f .

f ( x ) = 2 x   s e   x ≤ 1 3 - x   s e   1 < x ≤ 4 x   s e   x > 4

Passo 1

Olá, vamos para mais uma resolução?

Aqui a gente tem uma função determinada por várias equações, cada uma para um intervalo, e nos é perguntado em quais valores nossa função é descontinua.

Além disso, devemos também descobrir quais pontos a nossa função é continua pela direita, ou pela esquerda, ou apenas é continua mesmo.

Para conseguirmos resolver essa, a gente primeiro precisa definir o que é continuidade.

Em termos mais formais, uma função f x é contínua em um ponto   c   se os seguintes critérios forem atendidos:

1. f c está definido.

2. O limite de f x quando x se aproxima de c a partir de ambos os lados é igual a f c . Matematicamente, isso é expresso como:

lim x → c + ⁡ f x = lim x → c - ⁡ f x = f c

3. A função   f x está definida para todos os pontos em um intervalo aberto em torno de c   .

Em outras palavras, não há saltos, lacunas ou quebras abruptas nos gráficos de funções contínuas. Elas podem ter curvas suaves, linhas retas ou até mesmo funções mais complexas, mas a característica essencial é que elas não têm descontinuidades.

Então iremos aqui analisar se nossa função esta de acordo com os critérios, e assim decidir se ela é ou não continua.

Passo 2

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = 2 x ,       s e   x ≤ 1 3 - x ,       s e   1 < x ≤ 4 x ,       s e   x > 4

Note que:

  • f é continua em ( - ∞ , 1 ) por ser uma função exponencial;
  • f é continua em ( 1,4 ] por ser uma função exponencial;
  • f é continua em ( 4 , ∞ ) por ser uma função raiz.

Agora, calculando os limites laterais de f para o ponto x = 1 , temos:

Calculando para a esquerda:

lim x → 1 - ⁡ f x

= lim x → 1 - ⁡ 2 x

= 2 1

= 2

Calculando para a direita:

lim x → 1 + ⁡ f x

= lim x → 1 + ⁡ 3 - x

= 3 - 1

= 2

Agora precisamos calcular f 1 para sabermos se a função é realmente continua pela direita e pela esquerda.

f 1 = 3 - 1 = 2

então f é contínua no ponto x = 1 , tanto pela direita quanto pela esquerda.

Passo 3

Agora, calculando os limites laterais de f para o ponto x = 4 :

Calculando pela esquerda:

lim x → 4 - ⁡ f x

= lim x → 4 - ⁡ 3 - x

= - 1

Calculando pela direita:

lim x → 4 + ⁡ f x

= lim x → 4 + ⁡ x

= 4

= 2

Agora precisamos calcular f 4 para sabermos se a função é realmente continua pela direita e pela esquerda.

Como temos que

f 4 = 3 - 4 = - 1

então f é descontínua em f ( 4 ) pois os limites laterais são diferentes, sendo assim seu limite neste ponto não existe, mas é contínua pela esquerda nesse ponto.

O gráfico da função é mostrado a seguir:

Resposta

D e s c o n t í n u a   e m   x = 4

C o n t í n u a   p e l a   e s q u e r d a   e m   x = 4

C o n t í n u a   e m   x = 1

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