Enunciado

Use a continuidade para avaliar o limite.

lim x → 4 ⁡ 3 x 2 - 2 x - 4

Passo 1

E aí pessoal!

Nesse exercício iremos analisar o seguinte limite:

lim x → 4 ⁡ 3 x 2 - 2 x - 4

Para que a função seja continua, devemos ter:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Isso é, o limite da função e a imagem da função deve ser o mesmo no ponto dado.

Além disso, também precisamos lembrar de um Teorema que diz que uma composição de funções contínuas também é uma função contínua.

E também precisamos lembrar que funções exponenciais, funções raiz e uma funções polinomiais são contínuas em seus domínios.

Então os pontos de descontinuidade vão ser apenas os que não pertencem ao domínio. Isso quer dizer que precisamos definir o domínio.

Passo 2

Seu domínio é tal que o termo dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, sendo assim:

x 2 - 2 x - 4 ≥ 0

Completando o quadrado do lado esquerdo da equação, temos:

x 2 - 2 x + 1 - 4 ≥ 1

x 2 - 2 x + 1 ≥ 5

Na forma de um quadrado perfeito, temos que:

x - 1 2 ≥ 5

x - 1 ≥ 5

Tirando do módulo

x - 1 ≥ 5

x - 1 ≤ - 5

Então:

x ≥ 1 + 5

x ≤ 1 - 5

Sendo assim, o domínio é dado por:

- ∞ , 1 - 5 ⋃ ( 1 + 5 , ∞ )

E a função é contínua em todo esse intervalo.

Passo 3

O número 4 está dentro do domínio de f ( x ) , sendo assim f é contínua em x = 4 e:

lim x → 4 ⁡ f ( x ) = f 4 = 3 16 - 8 - 4 = 3 2 = 9

Resposta

lim x → 4 ⁡ 3 x 2 - 2 x - 4 = 9

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