Enunciado

  1. Se f x = x 2 - 1 e x , encontre f ' x e f ' ' x .
  2. Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparando os gráficos de f , f ' e f ' ' .

Passo 1

Oiee, bora resolver comigoo

A regra do produto é uma regra fundamental no cálculo diferencial que nos permite derivar o produto de duas funções. No contexto deste exercício, a regra do produto será aplicada para encontrar a derivada da função f x = x 2 - 1 e x .

A regra do produto afirma que a derivada de um produto de duas funções é dada pela derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Matematicamente, se u x e   v ( x ) são funções de x , então:

u ⋅ v ' = u ' v + u v '

Aplicando esta regra à função f x = x 2 - 1 e x , nós temos u x = e v x = e x .

Portanto, a derivada de f ( x ) é dada por:

f ' x = x 2 - 1 ' e x + ( x 2 - 1 ) ( e x ) '

Onde x 2 - 1 ' representa a derivada de (   x 2 –   1   ) em relação a (   x   ) , e (   e x ' ) representa a derivada de (   e x ) em relação a (   x   ) .

Depois de calcular essas derivadas, nós substituímos de volta na equação para obter a expressão final para (   f ' x ) . Essa regra é essencial no cálculo diferencial, pois nos permite encontrar a derivada de uma grande variedade de funções, especialmente quando elas são o produto de duas ou mais funções.

Passo 2

Bom, precisamos derivar esta função. Antes de tudo devemos notar que há uma multiplicação entre os termos. Então o que usamos?

Se chamarmos:

f x = e x

g x = x 2 - 1

Derivando:

d d x f x = e x

d d x g x = 2 x

Substituindo:

d d x f x g x = e x . 2 x + ( x 2 - 1 ) ( e x )

Isolando e x :

d d x f x g x = e x ( x 2 + 2 x - 1 )

Então:

f ' x = e x ( x 2 + 2 x - 1 )

Passo 3

Agora temos uma nova função:

f ' ( x ) = e x ( x 2 + 2 x - 1 )

Também possui uma multiplicação entre as funções, então vamos resolver da mesma maneira que f x .

Chamamos:

f x = e x

g x = x 2 + 2 x - 1

Derivando:

d d x f x = e x

d d x g x = 2 x + 2

Substituindo:

d d x f x g x = e x 2 x + 2 + e x ( x 2 + 2 x - 1 )

Isolando e x :

d d x f x g x = e x ( x 2 + 4 x + 1 )

Ou seja:

f ' ' ( x ) = e x ( x 2 + 4 x + 1 )

E pronto! Terminamos a letra a, e agora vamos para a b!

Passo 4

Desenhando o gráfico, onde verde representa f, laranja f’ e rosa f’’:

A derivada primeira nos mostra a inclinação da reta tangente ao gráfico da função.

Então, pelo gráfico, quando a derivada é positiva, a reta tangente tem inclinação crescente e, consequentemente, a função também cresce.

Quando a inclinação diminui, a função decresce. Quando a derivada primeira é zero, a reta tangente possui inclinação horizontal naquele ponto!

Quando a derivada segunda é igual a zero, a derivada primeira possui uma inclinação tangente horizontal.

A mesma análise pode ser feita para a derivada segunda, já que quando a derivada é positiva, a reta tangente tem inclinação crescente e, consequentemente, a função também cresce.

Quando a inclinação diminui, a função decresce.

Com relação à função, quando f’’ é negativo o gráfico é côncavo para baixo e côncavo para cima quando f’’ é positivo.

Resposta

f ' x = 4 x ( x ² + 1 ) ²

f ' ' ( x ) = - 12 x 2 + 4 x 2 + 1 3

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