Enunciado

Encontre f ' ( x ) . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f ' .

f x = a r c t g ( x 2 - x )

Passo 1

Pessoal, nessa questão, queremos encontrar a derivada da função

f x = a r c t g ( x 2 - x )

E então comparar o gráfico da derivada com o da função e ver se faz sentido.

Para deriva-la, vamos lembrar que a função arcotangente, possui derivada dada por:

a r c t g x ' = 1 1 + x 2

Nesse caso, temos uma função dentro do argumento da arcotangente, portanto, faremos a regra da cadeia:

f g x ' = f ' g x g ' x

Passo 2

Temos que a derivada de f x = a r c t g ( x 2 - x ) é dada por:

f ' x = 1 1 + x 2 - x 2 ⋅ x 2 - x '

f ' x = 2 x - 1 1 + x 2 - x 2

Agora fazendo o gráfico de ambas as funções temos o seguinte:

O que faz sentido, pois a derivada é negativa quando a função decresce e positiva quando ela cresce. Além disso, a derivada vale zero no ponto onde a função possui um mínimo e portanto reta tangente horizontal.

Resposta

f ' x = 2 x - 1 1 + x 2 - x 2

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