Enunciado

  1. Faça o gráfico da função
  2. Explique a forma do gráfico calculando o limite quando x → 0 + ou quando x → ∞ .
  3. Estime os valores máximo e mínimo e então use o cálculo para achar os valores exatos.
  4. Use o gráfico de f ' ' para estimar a coordenada x dos pontos de inflexão.

f x = sen ⁡ x sen ⁡ x

Passo 1

  1. Essa função é contínua quando sen ⁡ x > 0 , que é no intervalo de formato ( 2 n π ,   2 n + 1 π ) , então nós esboçamos um gráfico de f com limites ( 0 ,   π ) .
  2. Passo 2

  3. Conseguimos usar a seguinte propriedade:
  4. y = sen ⁡ x sen ⁡ x → ln ⁡ y = sen ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x

    Então,

    lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x csc ⁡ x H =

    lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x - csc ⁡ x cot ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ( - sen ⁡ x ) = 0 → lim x → 0 + ⁡ y = e 0 = 1

    Passo 3

  5. Pelo gráfico, parece haver um máximo local em ( 1.57 ,   1 ) , e mínimos locais em ( 0.38 ,   0.69 ) , e em ( 2.76 ,   0.69 ) .
  6. y = sen ⁡ x sen ⁡ x → ln ⁡ y = sen ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x → y ' y = sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x + ln ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x =

    cos ⁡ ( 1 + ln ⁡ sen ⁡ x ) → y ' = sen ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x + ( 1 + ln ⁡ sen ⁡ x )

    Quando y ' = 0 , temos que cos ⁡ x = 0 ou ln ⁡ sen ⁡ x = 1 → x 2 = π 2 ou sen ⁡ x = e - 1 . No intervalo 0 ,   π ,   sen ⁡ x = e - 1 → x 1 = sen - 1 ⁡ e - 1 e x 3 = π - sen - 1 ⁡ e - 1 . Aproximando esses pontos nos dá que ( x 1 ,   f x 1 ) ≈ ( 0.3767 ,   0.6922 ) , ( x 2 ,   f x 2 ) ≈ ( 1.5708 ,   1 ) e ( x 3 ,   f x 3 ) ≈ ( 2.7649 ,   0.6922 ) . Essas aproximações confirmam nossa estimativa.

    Passo 4

  7. O gráfico de f ' ' é o seguinte:

Pelo gráfico, nós vemos que f ' ' x = 0 em x ≈ 0 . 94 e x ≈ 2.20 . Como f ' ' troca o sinal nesses valores, eles são coordenadas x dos pontos de inflexão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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