Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 50
Se , encontre o vetor gradiente e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível no ponto . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.
Passo 1
Fala aí! Precisamos encontrar a reta tangente, o vetor gradiente e esboçar a curva de nível dessa função… Bastante coisa, né? Mas relaxa que a gente dá conta de tudo juntos!
Vamos começar encontramos as derivadas parciais das coordenadas da equação, ok? Depois disso é partir para o cálculo do vetor gradiente, e multiplicando ele pelos eixos menos a coordenada do vetor gradiente vamos encontrar a equação da reta tangente… Ufa! Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro encontrando as derivadas parciais, vamos ter:
Temos então que:
E substituindo o dado do enunciado, , vamos ter:
Show de bola! Vamos continuar!
Passo 3
Agora vamos encontrar a equação da reta tangente, beleza?
Simplificando todo mundo por , vamos ficar com:
Uhul! Conseguimos!
Resposta
O vetor gradiente será:
A equação da reta tangente é:
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