Enunciado

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  1. Encontre os vetores unitários que são paralelos à curva y = 2   s e n   x no ponto ( π / 6 ,   1 ) .
  2. Encontre os vetores unitários que são perpendiculares à reta tangente.
  3. Esboce a curva y = 2   s e n   x e os vetores nas partes (a) e (b), todos começando em π 6 ,   1 .

Passo 1

  1. Queremos encontrar os vetores unitários que são paralelos à curva y = 2   s e n   x no ponto ( π / 6,1 ) .
  2. Para isso, vamos derivar nossa curva, pois assim encontramos a inclinação da reta que estamos procurando:

    y = 2   s e n x

    y ' = 2 cos ⁡ x  

    Como estamos falando do ponto π 6 , 1 , vamos trocar x = π / 6 :

    y ' = 2 cos ⁡ π 6 = 3

    Então nesse ponto, nossa inclinação é 3 . A equação da reta paralela tem a mesma inclinação, portanto será:

    y = 3 x

    A inclinação de uma reta pode ser dada por Δ y Δ x , então Δ y Δ x = 3 1

    1 , 3 satisfaz essa equação.

    Agora vamos calcular o módulo do vetor que encontramos:

    v = 1 2 + 3 2 = 4 = 2

    Para que esse vetor seja unitário, precisamos dividir suas componentes pelo seu módulo, então: u = ± 1 2 , 3 2

    Passo 2

  3. Queremos encontrar os vetores unitários que são perpendiculares à reta tangente. A inclinação da reta tangente é 3 , como vimos no item (a). Para uma reta ser perpendicular a outra, sabemos que a multiplicação entre as inclinações deve ser igual a - 1 . Então:
  4. 3 . m = - 1

    m = - 1 3

    Então a equação de uma reta perpendicular, porém não passando pelo ponto ( π / 6,1 ) é:

    y = - 1 3 x

    Lembre-se que a inclinação de uma reta pode ser interpretada como Δ y Δ x , então encontramos o par - 3 ,   1 .

    Show! Agora vamos encontrar o módulo desse vetor:

    v = - 3 2 + 1 2   = 2  

    Para que nosso vetor seja unitário, precisamos dividí-lo pelo seu módulo:

    u = ± - 3 2 , 1 2

    Passo 3

  5. A curva azul é o gráfico de y = 2   s e n   x , a reta roxa é o vetor unitário 1 2 , 3 2 e a reta vermelha é a perpendicular - 3 2 , 1 2

Resposta

36. (a) = ± 1 2 , 3 2

(b) ± - 3 2 , 1 2

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